Computer_Speech_Technology/Assignment/Assignment3/source/柯劲帆_21281280_作业3.md

课程作业

课程名称:计算机语音技术

作业次数:第3次

学号:21281280

姓名:柯劲帆

班级:物联网2101班

指导老师:朱维彬

修改日期:2023年11月1日

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1. 问题1

请说明同态分析的基本思想，并说明同态系统三个组成系统的功能。

同态分析的基本思想是：由于系统中的信号是非加性信号，希望能把信号变成加性信号后进行操作，再还原原本的信号。实现方法由以下步骤：

1. 通过特征变换将非线性信号转化为线性信号
2. 对线性信号进行线性滤波处理
3. 再通过逆特征变换将处理后的线性信号转换回原来的非线性信号

相应的，同态系统由以下三个部分组成:

1. 特征系统：通过对数变换，将非线性信号转化为线性信号。
2. 线性系统：对线性信号进行滤波处理。
3. 逆特征系统：通过指数变换，将滤波处理后的线性信号转换回原来的非线性信号形态。

2. 问题2

已知一语音时间序列$x\left(n\right)$，请写出其对应的复倒谱、倒谱$\hat{x}\left(n\right) $、$c\left(n\right) $的计算公式。

复倒谱：

\hat{x}\left(n \right)=\mathcal{F}^{-1}\left[\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\right]=\mathcal{F}^{-1}\left[\ln{X\left(e^{j\omega}\right)}\right]=\mathcal{F}^{-1}\left\{\ln{\mathcal{F\left[x\left(n\right)\right]} }\right\}

倒谱：（复倒谱的实数部分）

c\left(n \right)=\mathcal{F}^{-1}\left[\ln{\left|X\left(e^{j\omega}\right)\right|}\right]=\mathcal{F}^{-1}\left\{\ln{\left|\mathcal{F\left[x\left(n\right)\right]}\right|}\right\}

3. 问题3

请说明线性预测的基本概念，并用数学公式描述线性预测方程组的建立过程。

线性预测指的是，根据语音样点值之间存在相关性，一个语音样点值可以用过去的若干样点值的线性组合，输入模型分析来逼近和预测。

线性预测方程为

\hat{s}\left ( n \right ) = \sum_{i=1}^{P} a_i s\left ( n-i \right )

其中$s\left(n\right)$是原语音信号，$\hat{s}\left ( n \right )$是预测信号，$a_i$是线性预测系数。

预测误差为

e\left ( n \right )  = s\left ( n \right )  - \hat{s} \left ( n \right ) 

均方误差准则

E_n = \sum_{n}e^{2}\left ( n \right )

对$a_i$求偏导,使得$E$最小

\frac{\partial E}{\partial a_j} = 2\sum_{n}s\left(n\right)s\left(n-j\right)-2\sum_{i=1}^{p}a_i\sum_{n}s\left(n-i\right)s\left(n-j\right)=0

构成线性方程组

\sum_{n}s\left(n\right)s\left(n-j\right)=\sum_{i=1}^{p}a_i\sum_{n}s\left(n-i\right)s\left(n-j\right)

即

\sum_{i=1}^{p} a_i R_n\left( \left | j-i \right |  \right) =R_n\left ( j \right ),\left ( 1\le j\le P \right )

其中$R_n$是自相关函数。求解可得线性预测系数$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_p$。

4. 问题4

已知语音信号的线性预测系数$a_i$，说明$\text{LPC}$谱的计算过程以及预测阶数$P$对$\text{LPC}$谱的影响。

声道传递函数

H\left ( z \right ) =\frac{G}{1-\sum_{i=1}^{P} a_iz^{-i}}

代入$z = e^{j\omega}$，由$\text{Z}$域转换到频域，得到$\text{LPC}$谱

H\left ( e^{j\omega} \right ) =\frac{G}{1-\sum_{i=1}^{P} a_ie^{-j\omega i}}

预测阶数$P$对$\text{LPC}$谱的影响:

1. $P$决定了$\text{LPC}$模型的参数个数，$P$越大，能逼近信号谱的细节越多。
2. $P$越大，$\text{LPC}$谱上的共振峰个数越多，能反映出更多的共振峰信息。
3. 一般取$P$为$10\sim 14$阶，每个共振峰对应$2$阶，额外增加$2\sim 4$阶用于反映零点信息。
4. $P$的选择还要考虑分析帧长，要保证帧长大于$2$倍基音周期。